NÚMEROS ROMANOS
El sistema de numeración romano apenas se utiliza hoy en día
Principales usos:
- Para los siglos
- Para los reyes y personajes insignes
- Aniversario
Valor de los números romanos:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C =100
D = 500
M = 1000
Normas de utilización:
a) Las letras se leen de izquierda a derecha, ejem XII = 10 +1+1
b) Una letra de menor valor a la izquierda se resta IX = 10-1 = 9
c) Las letras que tienen el símbolo 5 no restan (V,L y D no restan)
d) Las letras se pueden repetir como máximo tres veces seguidas MMM = 3000
e) Una letra que resta solo se puede repetir una vez IX = 9. no se puede IIX
f) El símbolo I solo resta a V y X.
El símbolo X solo resta a L y C.
El símbolo C solo resta a D y M.
g) Si a un número romano se le pone una rayita horizontal encima se multiplica por 1000
h) Las letras V, L y D o se pueden repetir
EJERCICIOS
1. Escribe en números romanos:
70 = 76 = 79 = 89 = 99 = 101 = 119 = 124 = 149 = 399 =
998= 1206= 3456= 6129= 4375= 8939= 7909= 3473= 9999=
2. Traduce a número decimal:
LXXVIII = LXXXI = LXXXIII = XCI = MXCIX = XXXII= XII = XVII = XCV =
XCIX = XLIX = DCCXX = CMX = DCCV = LXIX = DCCCVI = XXV =
3. Realiza estas operaciones:
a) XL + CXXXV + XCIX = ....................................................
b) CMXC – DCCXCIV = ......................................................
4. Escribe cuatro números romanos más en cada serie.
a) VI - IX - XII - XV - ...................................................................................................
b) I - III - VI - X - XV - ................................................................................................
Principales usos:
- Para los siglos
- Para los reyes y personajes insignes
- Aniversario
Valor de los números romanos:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C =100
D = 500
M = 1000
Normas de utilización:
a) Las letras se leen de izquierda a derecha, ejem XII = 10 +1+1
b) Una letra de menor valor a la izquierda se resta IX = 10-1 = 9
c) Las letras que tienen el símbolo 5 no restan (V,L y D no restan)
d) Las letras se pueden repetir como máximo tres veces seguidas MMM = 3000
e) Una letra que resta solo se puede repetir una vez IX = 9. no se puede IIX
f) El símbolo I solo resta a V y X.
El símbolo X solo resta a L y C.
El símbolo C solo resta a D y M.
g) Si a un número romano se le pone una rayita horizontal encima se multiplica por 1000
h) Las letras V, L y D o se pueden repetir
EJERCICIOS
1. Escribe en números romanos:
70 = 76 = 79 = 89 = 99 = 101 = 119 = 124 = 149 = 399 =
998= 1206= 3456= 6129= 4375= 8939= 7909= 3473= 9999=
2. Traduce a número decimal:
LXXVIII = LXXXI = LXXXIII = XCI = MXCIX = XXXII= XII = XVII = XCV =
XCIX = XLIX = DCCXX = CMX = DCCV = LXIX = DCCCVI = XXV =
3. Realiza estas operaciones:
a) XL + CXXXV + XCIX = ....................................................
b) CMXC – DCCXCIV = ......................................................
4. Escribe cuatro números romanos más en cada serie.
a) VI - IX - XII - XV - ...................................................................................................
b) I - III - VI - X - XV - ................................................................................................
Números Naturales
Nuestro sistema de numeración es decimal porque 10 unidades de un mismo orden forman una unidad del orden superior
10 unidades forman 1 decena. 10 decenas forman 1 centena, 10 centenas forman 1 millar, etc...
Características:
- Está formado por los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y 0, y la combinación de ellos hace una numeración infinita.
- Es un sistema posicional: unidades, decenas, centenas, etc...
- Las operaciones más importantes son: suma-resta-multiplicación y división
Propiedades de la suma:
- Elemento neutro: es el 0, ejem 5 + 0 = 5
- Propiedad conmutativa: 5 + 3 = 3 + 5
- Propiedad asociativa: (5+3)+8 = 5+(3+8)
Propiedades de la multiplicación:
- Elemento neutro: es el 1, ejem 5 . 1 = 5
- Propiedad conmutativa: 5 . 3 = 3 . 5
- Propiedad asociativa: (5.3).8 = 5.(3.8)
- Propiedad distributiva: (5+3) . 2 = 2.5 + 2.3
- Factor común: lo contrario de propiedad distributiva, 2.5 + 2.3 = 2.(5+3)
Operaciones combinadas:
Si aparecen varias operaciones en un mismo ejercicio, el orden de las operaciones será el siguiente:
- Primero las operaciones de los paréntesis.
- Multiplicaciones y divisiones según vengan.
- Sumas y restas.
Ejemplo: 8 : 4 . 2 + 3 + 5 . 2 + (7 - 2)
8 . 4 . 2 + 3 + 5 . 2 + 5
2 . 2 + 3 + 10 + 5
4 + 3 + 10 + 5 = 22
Múltiplos:
Se dice que un número es múltiplo de otro si da como resultado de multiplicarle por otro número
2 . 5 = 10. El 10 es múltiplo de 2 y de 5
Divisores:
Se dice que un número es divisor de otro, cuando al dividir los dos números la división es exacta
El 1 es divisor de todos los números
El mismo números es divisor de si mismo
Divisores de 10 = 1, 2, 5 y 10
EJERCICIOS
5. ¿Qué número corresponde a cada descomposición?
a) 6 UMM + 8 CM + 4 UM + 5 C + 7 D
b) 2 UMM + 2 DM + 9 UM + 4 D
c) 4 000 000 + 60 000 + 7 000 + 80 + 5
d) 7 000 000 + 600 000 + 10 000 + 2 000 + 500
6. ¿Cuál es el valor de la cifra 4 en estos números?:
a) 884 699 8 La cifra 4 vale ......................... unidades.
b) 6 025 947 8 La cifra 4 vale ......................... unidades.
c) 6 470 816 8 La cifra 4 vale ......................... unidades
7. Escribe el signo > o <, según corresponda.
775 789 ......775 897
493 109 .......493 901
389 810........ 388 910
687 750....... 677 850
699 401 ......699 041
316 493 .......316 439
8. Calcula.
a) (120 – 18) : 3 + 10 = ...................................................................
b) 3 x 25 – (60 – 15) = ....................................................................
c) (180 – 60) x 2 + 70 = ..................................................................
d) 56 – 9 x 4 + 15 = ........................................................................
9. Asocia cada operación con su resultado.
60 –( 40 – 15) 30
60 - 40 - 15 5
60 x 10 -5 35
6 x (10-5) 55
10. Carlos tenía 48 canicas y compró dos bolsas con 15 canicas cada una. Si repartió todas las canicas entre sus tres hermanos, ¿cuántas canicas le dio a cada uno?
10 unidades forman 1 decena. 10 decenas forman 1 centena, 10 centenas forman 1 millar, etc...
Características:
- Está formado por los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y 0, y la combinación de ellos hace una numeración infinita.
- Es un sistema posicional: unidades, decenas, centenas, etc...
- Las operaciones más importantes son: suma-resta-multiplicación y división
Propiedades de la suma:
- Elemento neutro: es el 0, ejem 5 + 0 = 5
- Propiedad conmutativa: 5 + 3 = 3 + 5
- Propiedad asociativa: (5+3)+8 = 5+(3+8)
Propiedades de la multiplicación:
- Elemento neutro: es el 1, ejem 5 . 1 = 5
- Propiedad conmutativa: 5 . 3 = 3 . 5
- Propiedad asociativa: (5.3).8 = 5.(3.8)
- Propiedad distributiva: (5+3) . 2 = 2.5 + 2.3
- Factor común: lo contrario de propiedad distributiva, 2.5 + 2.3 = 2.(5+3)
Operaciones combinadas:
Si aparecen varias operaciones en un mismo ejercicio, el orden de las operaciones será el siguiente:
- Primero las operaciones de los paréntesis.
- Multiplicaciones y divisiones según vengan.
- Sumas y restas.
Ejemplo: 8 : 4 . 2 + 3 + 5 . 2 + (7 - 2)
8 . 4 . 2 + 3 + 5 . 2 + 5
2 . 2 + 3 + 10 + 5
4 + 3 + 10 + 5 = 22
Múltiplos:
Se dice que un número es múltiplo de otro si da como resultado de multiplicarle por otro número
2 . 5 = 10. El 10 es múltiplo de 2 y de 5
Divisores:
Se dice que un número es divisor de otro, cuando al dividir los dos números la división es exacta
El 1 es divisor de todos los números
El mismo números es divisor de si mismo
Divisores de 10 = 1, 2, 5 y 10
EJERCICIOS
5. ¿Qué número corresponde a cada descomposición?
a) 6 UMM + 8 CM + 4 UM + 5 C + 7 D
b) 2 UMM + 2 DM + 9 UM + 4 D
c) 4 000 000 + 60 000 + 7 000 + 80 + 5
d) 7 000 000 + 600 000 + 10 000 + 2 000 + 500
6. ¿Cuál es el valor de la cifra 4 en estos números?:
a) 884 699 8 La cifra 4 vale ......................... unidades.
b) 6 025 947 8 La cifra 4 vale ......................... unidades.
c) 6 470 816 8 La cifra 4 vale ......................... unidades
7. Escribe el signo > o <, según corresponda.
775 789 ......775 897
493 109 .......493 901
389 810........ 388 910
687 750....... 677 850
699 401 ......699 041
316 493 .......316 439
8. Calcula.
a) (120 – 18) : 3 + 10 = ...................................................................
b) 3 x 25 – (60 – 15) = ....................................................................
c) (180 – 60) x 2 + 70 = ..................................................................
d) 56 – 9 x 4 + 15 = ........................................................................
9. Asocia cada operación con su resultado.
60 –( 40 – 15) 30
60 - 40 - 15 5
60 x 10 -5 35
6 x (10-5) 55
10. Carlos tenía 48 canicas y compró dos bolsas con 15 canicas cada una. Si repartió todas las canicas entre sus tres hermanos, ¿cuántas canicas le dio a cada uno?
Números primos y compuestos
Números primos:
Son aquellos que son divisibles entre ellos mismos y la unidad
Ejemplos: 1, 2, 3 , 5, 7, 11, etc...
Números Compuestos:
Son aquellos números que ademas de ser divisibles entre el 1 y sí mismos, también lo son por otros números.
Ejemplos: 4, 6, 8, 10, 12, etc...
Reglas de divisibilidad:
- Todos los números son divisibles entre 1
- Divisible por 2: si acaba en 0 ó cifra par
- Divisible por 3: si la suma de sus cifras es 3
- Divisible por 5: si acaba en 5 ó 0
- Divisible por 11: si la diferencia de la suma de cifras pares y la suma de cifras impares es 0 ó múltiplo de 11. Ejemplo: 121
Descomposición de un número en factores primos
Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más factores primos.
Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos:
1° Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (actúa como "ventana" de división) y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto.
2° Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.
Ejemplo 1: Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 24:
Ejercicios:
11. Distingue de los siguientes números cuáles son primos y cuáles son compuestos:
237, 23, 75, 2, 120, 67, 48, 132 y 253
12. ¿Puede haber algún número par que sea primo?.
13. Haz la descomposición en factores primos de los siguientes números:
a) 108 b) 37 c) 120 d) 99 e) 100 f) 2100 g) 42 h) 840 i) 2294
14. Indica cuáles de los siguientes números es primo justificando por qué: 8, 101, 57, 49, 61, 63.
Después, halla tres números primos entre 500 y 550.
15. Indica a que números se refieren los siguientes factores:
a) 2 x 2 x 3 = b) 3 x 5 = c) 3 x 3 x 3 = d) 2 x 7 x 2 =· 52 · 7a) a) 22 · 52 · 722 · 52 · 7
Son aquellos que son divisibles entre ellos mismos y la unidad
Ejemplos: 1, 2, 3 , 5, 7, 11, etc...
Números Compuestos:
Son aquellos números que ademas de ser divisibles entre el 1 y sí mismos, también lo son por otros números.
Ejemplos: 4, 6, 8, 10, 12, etc...
Reglas de divisibilidad:
- Todos los números son divisibles entre 1
- Divisible por 2: si acaba en 0 ó cifra par
- Divisible por 3: si la suma de sus cifras es 3
- Divisible por 5: si acaba en 5 ó 0
- Divisible por 11: si la diferencia de la suma de cifras pares y la suma de cifras impares es 0 ó múltiplo de 11. Ejemplo: 121
Descomposición de un número en factores primos
Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más factores primos.
Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos:
1° Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (actúa como "ventana" de división) y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto.
2° Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.
Ejemplo 1: Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 24:
Ejercicios:
11. Distingue de los siguientes números cuáles son primos y cuáles son compuestos:
237, 23, 75, 2, 120, 67, 48, 132 y 253
12. ¿Puede haber algún número par que sea primo?.
13. Haz la descomposición en factores primos de los siguientes números:
a) 108 b) 37 c) 120 d) 99 e) 100 f) 2100 g) 42 h) 840 i) 2294
14. Indica cuáles de los siguientes números es primo justificando por qué: 8, 101, 57, 49, 61, 63.
Después, halla tres números primos entre 500 y 550.
15. Indica a que números se refieren los siguientes factores:
a) 2 x 2 x 3 = b) 3 x 5 = c) 3 x 3 x 3 = d) 2 x 7 x 2 =· 52 · 7a) a) 22 · 52 · 722 · 52 · 7
Máximo Común Divisor (mcd)
El mcd de varios números es el máximo divisor que tiene los números:
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
1. Escribimos cada número como producto de factores primos.
2. El m.c.d. es igual al producto de los factores comunes elevados al menor exponente.
Ejercicios:
16. Alfredo tiene 30 CD de música rock y 18 de música clásica. Quiere ordenarlos en estanterías iguales de la mayor capacidad posible sin mezclar los tipos de CD y sin dejar estanterías incompletas.
Como no quiere que queden estanterías vacías, hay que buscar los divisores de 30 y 18, ¿cuáles son?
17. ¿Cuáles son todos los divisores comunes de 32 y 28?
18. Indica los divisores de los siguientes números y calcula su máximo común divisor.
a) 2 y 16 b) 27, 36 y 63 c) 3 y 35 d) 42, 48 y 72 e) 9, 12 y 18 f) 4, 6, 18 y 32
19. ¿Cuál es el máximo común divisor de 135 y 180?
20. Halla el máximo común divisor de: a) 220 y 385 b) 98, 154 y 1 715 c) 54, 180 y 216
21. Un viñedo de forma rectangular tiene 180 vides a lo ancho y 120 a lo largo. Se quieren dividir en parcelas cuadradas que tengan el mayor número posible de vides.
a) ¿Cuántas vides debe tener cada parcela?
22. A una cena asisten 20 chicos y 30 chicas. Si las mesas son todas iguales y los chicos y las chicas están separados, ¿cuántas mesas son necesarias?
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
1. Escribimos cada número como producto de factores primos.
2. El m.c.d. es igual al producto de los factores comunes elevados al menor exponente.
Ejercicios:
16. Alfredo tiene 30 CD de música rock y 18 de música clásica. Quiere ordenarlos en estanterías iguales de la mayor capacidad posible sin mezclar los tipos de CD y sin dejar estanterías incompletas.
Como no quiere que queden estanterías vacías, hay que buscar los divisores de 30 y 18, ¿cuáles son?
17. ¿Cuáles son todos los divisores comunes de 32 y 28?
18. Indica los divisores de los siguientes números y calcula su máximo común divisor.
a) 2 y 16 b) 27, 36 y 63 c) 3 y 35 d) 42, 48 y 72 e) 9, 12 y 18 f) 4, 6, 18 y 32
19. ¿Cuál es el máximo común divisor de 135 y 180?
20. Halla el máximo común divisor de: a) 220 y 385 b) 98, 154 y 1 715 c) 54, 180 y 216
21. Un viñedo de forma rectangular tiene 180 vides a lo ancho y 120 a lo largo. Se quieren dividir en parcelas cuadradas que tengan el mayor número posible de vides.
a) ¿Cuántas vides debe tener cada parcela?
22. A una cena asisten 20 chicos y 30 chicas. Si las mesas son todas iguales y los chicos y las chicas están separados, ¿cuántas mesas son necesarias?
Mínimo Común Múltiplo (mcm)
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes. De forma abreviada, se escribe m.c.m.
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
1. Escribimos cada número como producto de factores primos.
2. El m.c.m es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
1. Escribimos cada número como producto de factores primos.
2. El m.c.m es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Ejercicios:
23. Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
a) 6 y 18
b) 9, 12 y 18
c) 18, 27 y 54
24. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 150 y 198?
25. Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números.
a) 20, 25 y 80
b) 21, 14 y 35
c) 16, 32 y 80
26. Un albañil coloca en una pared azulejos rectangulares de 8 por 15 centímetros sin romper ninguno.
¿Cuántos azulejos debe colocar para obtener un cuadrado?
27. En una fábrica embalamos dos tipos de productos en cajas de dos alturas: 30 cm y 50 cm. Si apilamos las de 30 cm por un lado y las de 50 cm por otro, ¿a qué altura mínima coincidirán las dos pilas de cajas? Elige la opción correcta.
a) 100 cm b) 150 cm c) 200 cm d) 300 cm e) 1500 cm
28. Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números.
a) 112 y 144
b) 240, 360 y 600
c) 198 y 484
d) 250, 625 y 800
23. Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
a) 6 y 18
b) 9, 12 y 18
c) 18, 27 y 54
24. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 150 y 198?
25. Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números.
a) 20, 25 y 80
b) 21, 14 y 35
c) 16, 32 y 80
26. Un albañil coloca en una pared azulejos rectangulares de 8 por 15 centímetros sin romper ninguno.
¿Cuántos azulejos debe colocar para obtener un cuadrado?
27. En una fábrica embalamos dos tipos de productos en cajas de dos alturas: 30 cm y 50 cm. Si apilamos las de 30 cm por un lado y las de 50 cm por otro, ¿a qué altura mínima coincidirán las dos pilas de cajas? Elige la opción correcta.
a) 100 cm b) 150 cm c) 200 cm d) 300 cm e) 1500 cm
28. Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números.
a) 112 y 144
b) 240, 360 y 600
c) 198 y 484
d) 250, 625 y 800