El signo = es muy importante en matemáticas, entre otras funciones sirve para relacionar dos procesos con idéntico resultado,
Ejem 2+3 = 6-1
Cuando son expresiones algebraicas obtenemos una igualdad entre expresiones algebraicas,
Ejem 2e + 3e = 6e – 1e
La expresión situada a la izquierda se llama primer miembro y la de la derecha segundo miembro
Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor numérico de las letras que aparezcan en ella
Ejem. 3x + 2x = 5x
Una ecuación es una igualdad que se verifica solamente para algunos valores numéricos de las letras que aparezcan en ella
Ejem. 3x + 4 = 10
Partes de una ecuación
Para resolver ecuaciones se deben seguir los siguientes pasos:
Para resolver ecuaciones con paréntesis se atiende a las normas establecidas en operaciones combinadas:
Ecuaciones con denominadores:
Para resolver ecuaciones con denominadores se procede de la manera siguiente
Ecuaciones con paréntesis y denominadores:
En estos casos se resuelven primero los paréntesis y posteriormente se procede como hemos estudiado
Ecuaciones con incógnitas en los denominadores:
Se aplica la propiedad fundamental de equivalencia: producto de extremos es igual a producto de medios
Problemas de ecuaciones:
Para resolver problemas de ecuaciones se siguen los siguientes pasos:
Ejem 2+3 = 6-1
Cuando son expresiones algebraicas obtenemos una igualdad entre expresiones algebraicas,
Ejem 2e + 3e = 6e – 1e
La expresión situada a la izquierda se llama primer miembro y la de la derecha segundo miembro
Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor numérico de las letras que aparezcan en ella
Ejem. 3x + 2x = 5x
Una ecuación es una igualdad que se verifica solamente para algunos valores numéricos de las letras que aparezcan en ella
Ejem. 3x + 4 = 10
Partes de una ecuación
- Términos en x, son aquellos que tienen un coeficiente y una x
- Términos independientes, son aquellos en los que no aparece x
- Signo =, separa los dos miembros de la ecuación y cada vez que se pasa un término de un lado al otro del signo igual lo hace con lo contrario que está haciendo.
- 1º Miembro: situado a la izquierda
- 2º Miembro: situado a la derecha
- Si sumamos un mismo número a los dos miembros de la ecuación, el resultado no varia
- Si multiplicamos a los dos miembros de la ecuación por un mismo número la ecuación no varía
Para resolver ecuaciones se deben seguir los siguientes pasos:
- Pasamos al primer miembro todos los términos con x
- Pasamos al segundo miembro todos los términos independientes, es muy importante que al pasar los términos lo hagan con lo contrario que están haciendo
- Despejamos la x
Para resolver ecuaciones con paréntesis se atiende a las normas establecidas en operaciones combinadas:
- Si hay un signo negativo delante del paréntesis cambia los signos
- Si un número multiplica a un paréntesis, multiplica a todos los términos
Ecuaciones con denominadores:
Para resolver ecuaciones con denominadores se procede de la manera siguiente
- Reducir los denominadores a común denominador, es decir, hallar el mcm
- Hallar los numeradores correspondientes
- Quitar los denominadores
- Resolver la ecuación de una manera normal
Ecuaciones con paréntesis y denominadores:
En estos casos se resuelven primero los paréntesis y posteriormente se procede como hemos estudiado
Ecuaciones con incógnitas en los denominadores:
Se aplica la propiedad fundamental de equivalencia: producto de extremos es igual a producto de medios
Problemas de ecuaciones:
Para resolver problemas de ecuaciones se siguen los siguientes pasos:
- Leer detenidamente el texto y comprenderle
- Asignar la incógnita, determinar la letra x a lo que me pida
- Planteamiento de la ecuación
- Resolución de la ecuación
- Comprobación de la ecuación
1.- Indica el número que falta en estas expresiones:
a) 24 + __ = 36 b) 15 – __ = 9 c) 12 : ___ = 4 d) __ · 4 = 36
2.- Encuentra un número que al sustituir la letra se verifique la igualdad:
a) x + 2 = 6 b) a – 2 = 8 c) 5 + x = 7 d) 4 + x = 10 – 2
3.- Halla el valor de las letras de las siguientes ecuaciones:
a) x – 5 = 4 b) 2 – x = – 4 c) x + 10 = 0 d) t – 3 = 1
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x + 2 = - 14 b) x – 2 = - 14 c) x + 12 = - 3 d) x – 12 = - 3 e) x + 12 = - 23 f) x – 12 = - 23 g) -2x = - 6 h) - 2x = 6
i) -12x = - 36 j) -12x = 36 k) x + 2= - 8 l) x - 2 = 8 m) 2x + 12= - 4 n) 2x - 12 = 4 ñ) 10x + 8 = -6 + 9x
5.- Haz lo mismo del ejercicio anterior con estos otros ejercicios:
a) 3x + 23 = 2x + 59 b) x + 12 = 17 c) 2x – 4 = x + 9 d) 5x – 10 = 4 e) 2x + 8 = x + 25 + 8 f) -x – 3 = 7 + 4x
6- Haz estas ecuaciones:
a) 2 (x + 2) = 6 b) 3 (4 – x) = 6 c) 2 (x + 2) = x d) 2 (x + 1) = 3x e) 3 (2 - x) = 2 + x f) 2 (3 - 2x) = -4 - 2x
7.- Plantea ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones:
a) El doble de x es cuatro
b) El triple de x es 3
c) Si a x se le suma 2 se obtiene 4
d) Si a x le restamos 5 se obtiene 6
8.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x + 2 = x + 10 b) 1 + 3x = 2x + 7 c) 2 + 7x = 4 – 3x d) x – 18 = 2x – 3 e) – 5 – 2x = 3 – 8x – 2
9.- Resuelve las siguientes ecuaciones quitando para ello el paréntesis antes:
a) 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4 b) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x) c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2(x + 6) – 7x d) 10(x – 2) = 1
e) 2(x – 5) –10 = x – 5 f) 3(x – 6) – 10 = 2(x – 5) – 4 g) 5(x – 2) – 6 (x – 1) = 3(2x – 4)
10 Escribe la solución
1) X +1 = 2 2) X + 1 = 0 3) X +2 = 1 4) X – 2 = 1 5) X – 2 = 0 6) X + 1 = - 2 7) X – 1 = - 2 8) 2X = 4 9) 3X = - 6 10) – 4X = - 8 11) – 2X = 6 12) 2x – x + 4 + 2 = 8 13) 3x + 1 – 2x = 9 – 3
14) 6 + 2x – 4 = x – 1 15) – 6 – 2x = - 3x – 6 16) x + x +4 +2 = 8 17) 2x + x +5 – 5 = 6
18) 2x – x – 3 – 5 = 2 19) 2x + 2 – 1 – x = 2 20)6x = – 4 + x + 3 + 1 21) x + 2 (x + 1) = 4
22) 4 (x – 3) – 5 (x + 2) = 7 ( 3x – 1) + 29 23) 3 (4 + 12x) – 6 (2x + 3) = 36 + 2 (3x + 2)
PROBLEMAS DE NÚMEROS
11.- Si x es un número expresa simbólicamente:
a) Su doble. b) Su mitad mas su doble. c) Su cuádruplo. d) El siguiente a x. e) El número anterior a x.
f) Los dos números que le siguen a x. g) El doble del siguiente de x.
12. Busca un número que sumado a 3 es igual a 10
13. Busca un número que restado 5 al número es igual a 14
14. Busca un número que restándole a 20 es igual a 14
15. Busca un número que multiplicándole por 3 es igual a 24
16. Busca un número que dividiéndole entre 42 es igual a 6
17. El doble de un número menos cinco es nueve. ¿De qué número se trata?
18. La suma de dos números consecutivos es 55. ¿De qué números se trata?
19. Si el doble de un número más 10 es igual a 50, ¿qué número es?
20. Calcular tres números consecutivos que sumen 24
21. Si la suma de de un número con su consecutivo es 27 ,¿qué número es?
22. Si la suma de dos números consecutivos es -13, ¿qué números son?
23. Calcula un número x de modo que al sumar 5 al doble de x es igual a restar 1 al triple de x
24. La suma de un número par y el siguiente par es igual a 66, ¿qué números son?
25. El resultado de restar el doble de x al quíntuple de x es 33, ¿qué números son?
26. La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble que el primero; el tercero es el doble del segundo, y el cuarto es el doble del tercero. Halla el valor de los cuatro números.
27. La suma de un número con su mitad y con su tercera parte es igual a 22, ¿qué número es x?
PROBLEMAS DE EDADES
28. El doble de la edad de Lucía más 25 años es igual a la edad de su abuelo que es 51 años. ¿Qué edad tiene Lucía?
29. Si Manuel es 3 años mayor que Andrea y la suma de sus edades es 35, ¿qué edades tienen?
30. Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Javier. Averigua la edad de cada uno.
31. La resta de las edades de dos hermanos es 5 y la suma 49, ¿qué edades tienen?
32. Juanjo tiene el doble de edad que Raúl, y Laura tres años más que Juanjo. Si la suma de sus edades es 38, ¿Cuál es la edad de cada uno?
33. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104. El padre tiene 6 años más que la madre, y ésta tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años, ¿qué edad tienen cada uno?
34. La edad de Javier es el triple que la de su hijo y dentro de 10 años será el doble, ¿qué edad tiene Javier?
35. Luis tiene 16 años más que Manuel y dentro de 4 años tendrá el doble, ¿qué edad tiene cada uno?
36. María tiene 30 años más que Luis y dentro de 7 años tendrá el triple, ¿qué edad tiene cada uno?
37. Un padre tiene 25 años más que su hijo y dentro de 5 años tendrá el doble, ¿qué edad tiene cada uno?
PROBLEMAS DE REPARTOS
38. En una caja hay doble número de caramelos de menta que de limón y triple número de caramelos de naranja que de menta y limón juntos. En total hay 312 caramelos. Hallar cuántos caramelos hay de cada sabor.
39.-En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta sabiendo que en total son 156 las personas que hay en ella.
40. Reparte 1000 euros entre tres personas de forma que la primera reciba el doble de la segunda y ésta, el triple de la tercera
41. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 euros. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado, ¿Cuál era el precio de cada artículo?
42. Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º le dan el doble que al 1º y al 3º el triple que al segundo. Si el total es de 18 bombones, ¿Cuántos bombones dan a cada niño?
43. Tres hermanos se reparten 1300 euros. El mayor recibe doble que el mediano y éste el cuádruple que el pequeño, ¿Cuánto recibe cada uno?
44. En un avión viajan el cuádruple de hombres que de mujeres y la mitad de niños que de mujeres, en total viajan 165 personas. ¿cuántos niños, mujeres y hombres hay?
45. En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de de niños. Si en total hay 35 personas, ¿Cuábtos niños, niñas y adultos hay?
46. Un hombre dejó su fortuna de la siguiente manera: la mitad para su esposa, la tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180 euros a una institución benéfica, ¿Cuánto dinero poseía?
47. En un autobús viajan el triple número de mujeres que de niños y doble número de hombres que de niños y mujeres juntos. En total viajan 60 personas. Calcula cuántos niños, mujeres y hombres viajan en dicho autobús.
a) 24 + __ = 36 b) 15 – __ = 9 c) 12 : ___ = 4 d) __ · 4 = 36
2.- Encuentra un número que al sustituir la letra se verifique la igualdad:
a) x + 2 = 6 b) a – 2 = 8 c) 5 + x = 7 d) 4 + x = 10 – 2
3.- Halla el valor de las letras de las siguientes ecuaciones:
a) x – 5 = 4 b) 2 – x = – 4 c) x + 10 = 0 d) t – 3 = 1
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x + 2 = - 14 b) x – 2 = - 14 c) x + 12 = - 3 d) x – 12 = - 3 e) x + 12 = - 23 f) x – 12 = - 23 g) -2x = - 6 h) - 2x = 6
i) -12x = - 36 j) -12x = 36 k) x + 2= - 8 l) x - 2 = 8 m) 2x + 12= - 4 n) 2x - 12 = 4 ñ) 10x + 8 = -6 + 9x
5.- Haz lo mismo del ejercicio anterior con estos otros ejercicios:
a) 3x + 23 = 2x + 59 b) x + 12 = 17 c) 2x – 4 = x + 9 d) 5x – 10 = 4 e) 2x + 8 = x + 25 + 8 f) -x – 3 = 7 + 4x
6- Haz estas ecuaciones:
a) 2 (x + 2) = 6 b) 3 (4 – x) = 6 c) 2 (x + 2) = x d) 2 (x + 1) = 3x e) 3 (2 - x) = 2 + x f) 2 (3 - 2x) = -4 - 2x
7.- Plantea ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones:
a) El doble de x es cuatro
b) El triple de x es 3
c) Si a x se le suma 2 se obtiene 4
d) Si a x le restamos 5 se obtiene 6
8.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x + 2 = x + 10 b) 1 + 3x = 2x + 7 c) 2 + 7x = 4 – 3x d) x – 18 = 2x – 3 e) – 5 – 2x = 3 – 8x – 2
9.- Resuelve las siguientes ecuaciones quitando para ello el paréntesis antes:
a) 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4 b) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x) c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2(x + 6) – 7x d) 10(x – 2) = 1
e) 2(x – 5) –10 = x – 5 f) 3(x – 6) – 10 = 2(x – 5) – 4 g) 5(x – 2) – 6 (x – 1) = 3(2x – 4)
10 Escribe la solución
1) X +1 = 2 2) X + 1 = 0 3) X +2 = 1 4) X – 2 = 1 5) X – 2 = 0 6) X + 1 = - 2 7) X – 1 = - 2 8) 2X = 4 9) 3X = - 6 10) – 4X = - 8 11) – 2X = 6 12) 2x – x + 4 + 2 = 8 13) 3x + 1 – 2x = 9 – 3
14) 6 + 2x – 4 = x – 1 15) – 6 – 2x = - 3x – 6 16) x + x +4 +2 = 8 17) 2x + x +5 – 5 = 6
18) 2x – x – 3 – 5 = 2 19) 2x + 2 – 1 – x = 2 20)6x = – 4 + x + 3 + 1 21) x + 2 (x + 1) = 4
22) 4 (x – 3) – 5 (x + 2) = 7 ( 3x – 1) + 29 23) 3 (4 + 12x) – 6 (2x + 3) = 36 + 2 (3x + 2)
PROBLEMAS DE NÚMEROS
11.- Si x es un número expresa simbólicamente:
a) Su doble. b) Su mitad mas su doble. c) Su cuádruplo. d) El siguiente a x. e) El número anterior a x.
f) Los dos números que le siguen a x. g) El doble del siguiente de x.
12. Busca un número que sumado a 3 es igual a 10
13. Busca un número que restado 5 al número es igual a 14
14. Busca un número que restándole a 20 es igual a 14
15. Busca un número que multiplicándole por 3 es igual a 24
16. Busca un número que dividiéndole entre 42 es igual a 6
17. El doble de un número menos cinco es nueve. ¿De qué número se trata?
18. La suma de dos números consecutivos es 55. ¿De qué números se trata?
19. Si el doble de un número más 10 es igual a 50, ¿qué número es?
20. Calcular tres números consecutivos que sumen 24
21. Si la suma de de un número con su consecutivo es 27 ,¿qué número es?
22. Si la suma de dos números consecutivos es -13, ¿qué números son?
23. Calcula un número x de modo que al sumar 5 al doble de x es igual a restar 1 al triple de x
24. La suma de un número par y el siguiente par es igual a 66, ¿qué números son?
25. El resultado de restar el doble de x al quíntuple de x es 33, ¿qué números son?
26. La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble que el primero; el tercero es el doble del segundo, y el cuarto es el doble del tercero. Halla el valor de los cuatro números.
27. La suma de un número con su mitad y con su tercera parte es igual a 22, ¿qué número es x?
PROBLEMAS DE EDADES
28. El doble de la edad de Lucía más 25 años es igual a la edad de su abuelo que es 51 años. ¿Qué edad tiene Lucía?
29. Si Manuel es 3 años mayor que Andrea y la suma de sus edades es 35, ¿qué edades tienen?
30. Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Javier. Averigua la edad de cada uno.
31. La resta de las edades de dos hermanos es 5 y la suma 49, ¿qué edades tienen?
32. Juanjo tiene el doble de edad que Raúl, y Laura tres años más que Juanjo. Si la suma de sus edades es 38, ¿Cuál es la edad de cada uno?
33. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104. El padre tiene 6 años más que la madre, y ésta tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años, ¿qué edad tienen cada uno?
34. La edad de Javier es el triple que la de su hijo y dentro de 10 años será el doble, ¿qué edad tiene Javier?
35. Luis tiene 16 años más que Manuel y dentro de 4 años tendrá el doble, ¿qué edad tiene cada uno?
36. María tiene 30 años más que Luis y dentro de 7 años tendrá el triple, ¿qué edad tiene cada uno?
37. Un padre tiene 25 años más que su hijo y dentro de 5 años tendrá el doble, ¿qué edad tiene cada uno?
PROBLEMAS DE REPARTOS
38. En una caja hay doble número de caramelos de menta que de limón y triple número de caramelos de naranja que de menta y limón juntos. En total hay 312 caramelos. Hallar cuántos caramelos hay de cada sabor.
39.-En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta sabiendo que en total son 156 las personas que hay en ella.
40. Reparte 1000 euros entre tres personas de forma que la primera reciba el doble de la segunda y ésta, el triple de la tercera
41. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 euros. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado, ¿Cuál era el precio de cada artículo?
42. Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º le dan el doble que al 1º y al 3º el triple que al segundo. Si el total es de 18 bombones, ¿Cuántos bombones dan a cada niño?
43. Tres hermanos se reparten 1300 euros. El mayor recibe doble que el mediano y éste el cuádruple que el pequeño, ¿Cuánto recibe cada uno?
44. En un avión viajan el cuádruple de hombres que de mujeres y la mitad de niños que de mujeres, en total viajan 165 personas. ¿cuántos niños, mujeres y hombres hay?
45. En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de de niños. Si en total hay 35 personas, ¿Cuábtos niños, niñas y adultos hay?
46. Un hombre dejó su fortuna de la siguiente manera: la mitad para su esposa, la tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180 euros a una institución benéfica, ¿Cuánto dinero poseía?
47. En un autobús viajan el triple número de mujeres que de niños y doble número de hombres que de niños y mujeres juntos. En total viajan 60 personas. Calcula cuántos niños, mujeres y hombres viajan en dicho autobús.